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抓住知識的形狀

現代的人們對於機率、統計的概念並不陌生。 許多時候靠著直覺的想法與常識而無須專業的知識, 也能大致處理生活中常見的問題。 不過有些問題如果仔細深究的話,會發現好像沒有想像中的理解。 例如隨機變數即是一個例子。 本篇會討論到粗淺的隨機變數、機率分佈的概念, 以及他們的簡單條件。 那麼就繼續往下吧: ---- 在開始討論之前,先來想想下面兩個或許想過,也或許不曾想過的問題吧 (?) (1) 如果有一顆不公正的六面骰(各面分別標上數字 1 - 6), 已知出現數字 6 的機率分別為其他數字的 5 倍。 請問若是我們擲出此六面骰,得到點數 X。該怎麼描述這個 X 比較恰當呢? Hint: 所謂的描述,可以理解為我們怎麼「預測」這個 X. 換句話說,我們對這個 X 可以有多少的資訊。 (2) 有一個出水量不穩定的水龍頭。 將一個杯子 (500 ml) 放在這個水龍頭底下, 根據經驗,打開這個水龍頭 3 秒大約可以裝滿半杯水。 請問現在如果我們打開水龍頭三秒後馬上關上。 這個杯子恰好半杯水 (250 ml) 的機率為何? Hint: 「唉呀,怎麼這麼剛好,居然不偏不倚正好 250.0 ml 呢!?」 ---- 第一個問題。 即使第一時間沒有想法,個人相信在給予足夠的時間後, 最起碼可以得到底下的資訊(沒有失誤的話): 當丟出骰子後 「骰出 1, 2, 3, 4, 5 的機率是 1/10; 骰出 6 的機率是 1/2. 」 好的。雖然有點突然,但現在馬上出現了一個問題: 為什麼我們可以根據一個條件(出現 6 的機率為其他點數的 5 倍)得到這件事? 很顯然的,我們是把 1 根據上面的條件,對各個點數做了分配。 因為我們認為,這六個點數可以代表所有的情形。 也就是把代表必定發生的 1, 或者說 100%, 根據條件將「可能性」妥善做了分配。 ---- 我們從第一個問題可以得到一些心得。 1. 骰子的點數是未知的,但我們會利用分配後的機率,來猜測骰子的點數為何。 -> 事實上點數 X 就是我們想知道的隨機變數。 -> 用來描述 X 的情形的機率,我們稱之為機率分佈。 2. 我們會假設所有「可能發生的」情形機率的總和為 1. -> 為了方便,用 P(X=n) 來代表 X 恰好等於 n 的機率。 如 P(X=1) 為 1/10, P(X=6) 為 1/2. 6 -> 因此用數學式來表達即為 Σ P(X=i) = 1. i=1 3. 除了「可能發生的」事件外,我們把其他的事件的機率皆視為 0. -> 簡單的說,P(X=i) = 0 對所有的 i ≠ 1, 2, 3, 4, 5 or 6. 故 P(X=0), P(X=-2), P(X=6.1) 等都是 0. ---- 再來說說第二個問題吧。 稍微揣摩一下說出 hint 中的情境,大概可以理解到: 水流不定的出水口能夠「剛好」達到特定容量確實是相當不容易的一件事。 其實和上面提出的追加問題是類似的,但性質稍有不同。 因為事實上不論剛好 250 ml, 100 ml, 或是剛好 500 ml. 要這麼不偏不倚的剛好相等,就機率上來說確實為 0. 畢竟只要稍有偏差,250.01, 249.99 都一樣不能算作恰好 250. 於是...燈~冷~! 弔詭的事情就這麼發生了 為了方便將出水的容量用 T 來做代表。 對任意的 x, 0 < x < 500, T = x 的機率皆為 0. P(T=x) = 0 for all 0<x<500. 難道杯子中的水量不在 0(空杯)到 500(滿杯) 之間嗎? 因此我們退回到一開始的問題。 有時候問題難以解決,不是因為方法錯了,而是一開始問題就問錯了! ---- 試想一下,當運動員在射箭時, 目標的靶上都會按照與圓心的距離畫上不同的顏色以表達不同的得分。 我們往往會把射到最中央的紅心區域視為最高得分。 儘管並不是真的恰好落在靶區的圓心「那一點」上。 沒錯,我們並不在意箭到底離圓心的距離「值」為多少,而是落在哪個「範圍」! 像這樣的隨機變數 T 和骰子有很大的不同點: T 有可能發生在 0 到 500 之間的任何一個數,而不若骰子這般有明確的特定點數。 我們稱骰子點數這類的隨機變數為 離散型隨機變數 出水容量這類的隨機變數為 連續型隨機變數 面對連續型,我們在意的往往是範圍。 若硬要強迫某個剛好出來的變數為某個數值往往只是徒勞且不具很大的意義。 ... to be continued.

todayMar 22, 2019

= // // // // 施工中 // // // // = 總之先慢慢的開始吧。 = // // // // // // // // // // =

todayMar 22, 2019

【申設教室】 英文名稱:as7218Class (12個字以內) 中文名稱:抓住知識的形狀 教學科目:綜合 科目簡介:數學、一些程式、也許偶爾一點哲學或文本、生活知識 :) 看板類別:水痕 (兩個全形中英文字或四個半型英文字以內) 板主名單:as7218

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